Question

Петя говорит, что если a^7 делится на b^3, где a и b - натуральные числа, то a^2 делится на b.  Докажите, что он неправ, приведя опровергающий пример.

Answer 1

Простейший контрпример a = 8, b = 128.
3. Пусть a, b, c - стороны треугольника. Докажите, что (a^2-b^2-c^2)^2 < 4b^2c^2.
Доказательство. Пусть D = (a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2.
Нужно доказать, что D < 0. Разложим D на множители, применяя известные формулы сокращјнного умножения:
(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2 = (a^2-b^2-c^2-2bc)(a^2-b^2-c^2 + 2bc) = (a^2-(b + c)^2)(a^2 (b-c)^2) =
= (a-(b + c))(a + b + c)(a + c-b)(a + b-c).
По неравенству треугольника, первая скобка отрицательна, а последние две положительны. Таким образом, дискриминант отрицателен.