Question

Назовем натуральное число отличным, если разность между его наибольшей и наименьшей цифрами равна 5 (например, числа 72 и 405 - отличные).

Найдите наибольшее количество подряд идущих отличных чисел. (Приведите соответствующий пример и докажите, что большего количества подряд идущих отличных чисел, чем в вашем примере, быть не может.)

Answer 1

Ответ: 12. Пример: 494, 495,. . . , 499, 500, . . . , 505.

Покажем, что больше 12 подряд идущих отличных чисел не может быть. Если этих чисел не меньше 10, то среди них есть число n, оканчивающееся нулјм. Наибольшая цифра в этом числе 5. В числе n + 1 также наибольшая цифра 5, и если это число отличное, то в нём ещё присутствует ноль. В этом случае числа n + 2, n + 3, n + 4, n + 5 также отличные, а число n + 6 не будет отличным, поскольку в его записи присутствуют 0 и 6. Число n 1 оканчивается девяткой, и если это число отличное, то наименьшая его цифра 4.

Число n 2 оканчивается восьмёркой, а наименьшая его цифра 4; если это число отличное, то в нум должна еще быть цифра 9. В этом случае числа n 3, n 4, n 5, n 6 также отличные, а число n 7 не будет отличным, поскольку в его записи присутствуют 9 и 3. Итак, справа от n не более пяти отличных чисел, а слева - не более шести. Доказано, что количество подряд идущих отличных чисел не больше 12.