Question

Среди пяти монет одна фальшивая. Настоящие монеты одной массы, а фальшивая другой массы. Имеются чашечные весы, которые работают так: при равенстве масс взвешиваемых грузов любая
из чашек может опуститься вниз; когда же массы различны, весы работают правильно.
Можно ли с помощью таких весов гарантированно определить фальшивую монету и установить при этом, легче она или тяжелее остальных?

Answer 1

Можно.
Решение. Приведём алгоритм (не оптимальный по числу взвешиваний), позволяющий решить задачу.
Пусть на первой чашке общий груз массой a, а на второй b. Если при этом первая чашка опустилась вниз, то a > b. Будем говорить, при этом, что первая чашка тяжёлая, а вторая лёгкая.
Сначала будем попарно сравнивать по весу монеты. Если какая-то монета побывала и на более лёгкой чашке, и на более тяжёлой, то она заведомо настоящая.
Монету, которая каждый раз оказывалась на лёгкой (тяжёлой) чашке, будем называть лёгкой (соответственно тяжёлой). Ясно, что одновременно двух лёгких монет быть не может, как и двух тяжёлых.
Ясно также, что фальшивая монета или лёгкая, или тяжёлая.
Если по результатам взвешиваний не обнаружилось тяжёлой монеты, то лёгкая и есть фальшивая (более лёгкая, чем остальные).
Если по результатам взвешиваний не обнаружилось лёгкой монеты, то тяжёлая и есть фальшивая (более тяжёлая, чем остальные).
Остался случай, когда выявились и лёгкая, и тяжёлая монеты. Положим их на одну чашку, а на другую любые две из оставшихся
монет (они заведомо настоящие). Взвешивание покажет, какая же из двух монет фальшивая.