Перепишем неравенство в виде
pa2 + (1 - p)b2 > p(1 - p)c2,
или
c2p2 + (а2 - b2 - c2)p + b2 > 0.
Слева квадратный трёхчлен относительно p. Старший коэффициент положительный. Докажем, что дискриминант отрицательный
(отсюда будет следовать, что график квадратного трёхчлена лежит выше оси абсцисс, т. е. неравенство выполняется для всех p).
D = (a2 - b2 - c2)2 - 4b2c2 = (a2 - b2 - c2 - 2bc)(a2 - b2 - c2 + 2bc) =
= (a2 - (b + c)2)(a2 - (b - c)2) =
= (a - (b + c))(a + b + c)(a + c - b)(a + b - c).
По неравенству треугольника, первая скобка отрицательна, а последние две положительны. Таким образом, дискриминант отрицателен.
