+1 голос
от Знаток (1.6 тыс. баллов) в категории Математика
Окружность, центр которой расположен в первой координатной четверти, касается оси Ox в точке M, пересекает две гиперболы y = {k_1}/{x} и y = {k_2}/{x} (k_1, k_2 > 0) в точках A и B таких, что прямая AB проходит через начало координат O. Известно, что 4k_1 + k_2 = 13. Найдите наименьшую возможную длину отрезка OM.

1 Ответ

0 голосов
от (350 баллов)

Пусть уравнение прямой AB имеет вид:  y=ax .

Тогда координаты точек пересечения прямой и гипербол имеют вид: (\sqrt{\frac{k_{1}}{a}};\sqrt{a\cdot k_{1}}) и (\sqrt{\frac{k_{1}}{a}};\sqrt{a\cdot k_{2}})  соответственно.

Значит OA^{2}=\frac{k_{1}}{a}+a\cdot k_{1} и OB^{2}=\frac{k_{2}}{a}+a\cdot k_{2}

По теореме о касательной и секущей OM^{2}=\sqrt{OA\cdot OB}=\sqrt{(\frac{k_{2}}{a}+a\cdot k_{2})(\frac{k_{1}}{a}+a\cdot k_{1})}

В силу неравенства о средних данно выражение больше или равно 2\sqrt{k_{1}{k_{2}}.

При этом можно преобразовать данное изначально условие к виду: 4k_{2}+k_{1}=20k_{2}k_{1} и если оценить в нем левую часть через неравенство о средних, то получится, что  2\sqrt{k_{1}k_{2}}\leq 20k_{1}k_{2} что равносильно тому, что \sqrt{k_{1}k_{2}}\geq \frac{1}{10} значит OM^{2}\geq 0,2.

Ответ: 0,2.

...