Окружность, центр которой расположен в первой координатной четверти, касается оси Ox в точке M, пересекает две гиперболы y = {k_1}/{x} и y = {k_2}/{x} (k_1, k_2 > 0) в точках A и B таких, что прямая AB проходит через начало координат O. Известно, что 4k_1 + k_2 = 13. Найдите наименьшую возможную длину отрезка OM.

Question

Окружность, центр которой расположен в первой координатной четверти, касается оси Ox в точке M, пересекает две гиперболы y = {k_1}/{x} и y = {k_2}/{x} (k_1, k_2 > 0) в точках A и B таких, что прямая AB проходит через начало координат O. Известно, что 4k_1 + k_2 = 13. Найдите наименьшую возможную длину отрезка OM.

1 Ответ

Trues4 · Answer 1 · 2021-01-27T14:53:10+0000

Пусть уравнение прямой AB имеет вид: y=ax .

Тогда координаты точек пересечения прямой и гипербол имеют вид: ( $\sqrt{\frac{k_{1}}{a}};\sqrt{a\cdot k_{1}}$ ) и ( $\sqrt{\frac{k_{1}}{a}};\sqrt{a\cdot k_{2}}$ ) соответственно.

Значит $OA^{2}=\frac{k_{1}}{a}+a\cdot k_{1}$ и $OB^{2}=\frac{k_{2}}{a}+a\cdot k_{2}$

По теореме о касательной и секущей $OM^{2}=\sqrt{OA\cdot OB}=\sqrt{(\frac{k_{2}}{a}+a\cdot k_{2})(\frac{k_{1}}{a}+a\cdot k_{1})}$

В силу неравенства о средних данно выражение больше или равно $2\sqrt{k_{1}{k_{2}}$ .

При этом можно преобразовать данное изначально условие к виду: $4k_{2}+k_{1}=20k_{2}k_{1}$ и если оценить в нем левую часть через неравенство о средних, то получится, что $2\sqrt{k_{1}k_{2}}\leq 20k_{1}k_{2}$ что равносильно тому, что $\sqrt{k_{1}k_{2}}\geq \frac{1}{10}$ значит $OM^{2}\geq 0,2$ .

Ответ: 0,2.

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь что бы добавить комментарий.

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь чтобы ответить на этот вопрос.

1 Ответ

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь что бы добавить комментарий.

Категории