Question

У Васи есть кубики трех цветов. Он строит из них башню, ставя каждый следующий кубик на предыдущий. Запрещено использовать более 4 кубика каждого из цветов. Вася заканчивает строить башню, как только в ней окажется по 4 кубиков каких-то двух цветов. Сколько различных башен может построить Вася?

Answer 1

Для решения задачи необходимо расписать случаи, а затем применить формулу числа сочетаний

Обозначим цвета просто как 1, 2, 3. Какие могут быть комбинации:

Цвета 1 и 3 встречаются 4 раза;

Цвета 2 и 3 встречаются 4 раза; 

Цвета 2 и 1 встречаются 4 раза;

Заметим, что ситуации эквивалентны, поэтому достаточно рассмотреть только одну. Также можно увидеть, что в последовательности последним должен стоять кубик 1 или 3 цвета. Поэтому сразу видим, что на последнее место можно выбрать кубик всего лишь двумя способами. Однако давайте для начала разберемся с количеством кубиков второго цвета:

1.  Если их 0. Тогда у нас всего 8 позиций для расстановки кубиков (2 уровня в башне). Тогда нам нужно найти количество способов расставить кубики третьего цвета, так как эта расстановка однозначно определит расстановку кубиков первого цвета. Получаем .

2. Если у нас один кубик второго цвета. Тогда нам нужно расставить кубики на 9 позиций. Заметим, что на последнем месте может стоять только кубик либо первого, либо третьего цвета, так как в противном случае Вася бы уже израсходовал по 4 кубика каждого из двух кубиков и должен бы был уже закончить строительство. Получаем

3.  Если у нас два кубика второго цвета. Аналогично получаем

4.  Если у нас три кубика второго цвета. Аналогично получаем 

Таким образом, мы посчитали все возможные значения для кубиков второго цвета, теперь нам нужно их просто сложить и, как мы ранее заметили, умножить на три, чтобы учесть комбинации для оставшихся двух цветов. Получаем ответ

Ответ: 34 650.

Ответ в общем виде: 5 кубиков – 756 756, 6 кубиков – 17 153 136, 7 кубиков – 399 072 960