Question

Найдите все пары натуральных чисел n и m, для которых
(n + 1)(2n + 1) = 2m2

Answer 1

Их нет.
Поскольку 2m² = (n + 1)(2n + 1) > 2n², m > n.
С другой стороны, 2(n + 1)2 > (n + 1)(2n + 1) = 2m² и m < n + 1.
Получилось, что n < m < n + 1. Это невозможно.
Замечание. Возможны и другие решения. Например, если рассмотреть уравнение как квадратное относительно n, то получим дискриминант 16m² + 1, не являющийся квадратом при натуральном m.
Ещё одно решение начинается с наблюдения о том, что n+ 1 и 2n+ 1 взаимно простые числа.